对我们数学家来说，就是要解没解的方程，这样的话我们才能够延续自己的研究，才能够有自己的生命。
（图源：wikipedia）
撰文 | 张寿武
整理&编辑 | 李爽 陈晓雪 金庄维
早上好。很高兴能够参加未来科学大奖。我接到组委会的邀请，要我给一个30分钟的报告，对我来说这是一个不太容易的事情。我给过很多public lecture，也就是公众报告，所有的报告都是给数学系的大学生、研究生，或者是对数学有兴趣的中学生。这是是第一次给公众的报道。所以让我讲点未来的科学，这个题目对我来讲有点沉重，我们来点轻松一点的东西。
昨天碰到很多中学生来听报告，很多家长问我的小孩将来学什么？我问他小孩想干什么？在今天这个年代，念大学有两个主题是最重要的，一个是计算机，一个是金融，都可以给你带来丰厚的工资。在我们那年代也一样，叫做“好数理化，走遍天下都不怕”。数理化最有用的大概是化学，像家里面所有的东西都是化学制品的多。信不信由你，当年我也考到中山大学化学系，进入化学系之后，我才发现化学不好学；学完化学之后也学学物理，平时看些物理书，物理也不好学；学物理之后要把数学学好，最后转到数学系去了。数学家分两类，一类叫应用数学家，他们能解决问题，还有一类叫做纯粹数学家，他们解决不了问题。我发现我也没办法跟应用数学家竞争，他们的解题水平太高了，所以我就变成一个纯粹数学家。纯粹数学家，剩下的问题就是不能解决问题，所以我今天的报告基本上没有什么用。所以如果你也到这来听的话，你会发现这些纯粹数学家确实是一些莫名其妙的人。
万物皆数
我这个报告第一部分叫万物皆数。万物皆数，这个道理是古希腊的大哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出来的。毕达哥拉斯通过研究月历和星座，发现自然界都跟数字有关系。所以大家想要研究好自然科学，研究哲学，先要把数字研究清楚。他办了一个学校，这个学校是秘密学校，学生在里面主要学习哲学、音乐、天文和数学。
毕达哥拉斯认为，世界的所有跟数有关系，比如说1代表推理（reasoning），2代表意见（opinion），3代表和谐（hormony），4代表公正（justice），5代表婚姻和爱情。他给所有东西都分一个数，奇数代表阳，偶数代表阴，这就是他的所有的观点。在毕达哥拉斯的理论里，大量的数是有理数——所有的整数，整数之后再分成分数。有了整数、分数之后，我们就可以解所谓的线性方程，比如3X=5，那么X=5/3。这就是毕达哥拉斯当年的东西。在毕达哥拉斯的学校，有人很快就发现了光是有理数不够。他的学生在计算一个单位为1的正方形的对角线的时候，就出了问题，发现对角线不是个有理数。这个问题就非常严重了，因为毕达哥拉斯认为所有的数都是有理数。其实毕达哥拉斯心里面差不多也有点眉目，认为根号2大概不是个有理数，所以他学生发现了，发现之后还告诉别人，对于毕达哥拉斯来说，这是不得了的大事情，后来他就把这个学生给沉到海里去了。所以发现无理数这个事情是付出生命的代价。
有了无理数和根号2之后，我们就知道二次方程也可以求解，这是我们在中学学的。这是一个很了不起的事，如果没有根号，我们求解（二次方程）还是一个很困难的事情。
后来又到了三次方程，就是方程再多一个位数。三次方程求解有很长的历史。在1500年以前，中国一个叫王孝通的人已经知道数值解，那是数值解当中做得比较早的人。但是对精确解，中国人没有研究过。
关于三次方程，数学界也有一个很长的故事。这个故事发生在几百年以前，意大利首先有一个数学家叫法罗（Scipione del Ferro），他发现了解三次方程的方法。但是当时还没有复数的概念，所以写出来比较费劲，把正的一边写在一边，把负的那边挪到那一边，正的等于正的。他一想就很困难，那个年代减东西都不能减，就没法配方，所以他发现了一类三次方程的解。他结果写在小本上面，死了之后就交给他的女婿。他女婿也是个数学家，继承了他在大学的位置，把小本给保存起来。法罗有一个学生叫菲奥利（Antonio Fiore），这个哥们到处吹嘘，说自己知道怎么解决三次方程。后来他碰到另外一个数学家，叫做塔塔里亚（Tartaglia）。塔塔里亚也知道怎么解三次方程，但他们两个解三次方程的方式不一样，后来他们决定要打一次赌，你出30道题，我出30道题。塔塔里亚在比赛的前一天晚上，算了一天，就把解三次方程的秘密弄出来了。而塔塔里亚给菲奥利的方程，菲奥利忙活了一天也做不出来，结果塔塔里亚就赢了。那时候不像现在——你如果知道怎么解方程，你把这个证明写了。他不写出来，放在兜里，作为秘密保持下来。
另外有一个意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano），当时在写一本书。他知道塔塔里亚知道怎么解决方程时，就很激动，跟他说：你能不能把这个秘密告诉我。塔塔里亚说：这不能告诉你，我这东西还是个秘密。卡尔达诺说：你告诉我，我发誓，坚决不会告诉别人，等到多少年之后再来发表。后来，卡尔达诺从别的途径知道，很早以前菲奥利就知道这个证明了，所以他就把那个证明写在书里。塔塔里亚很生气：你跟我发誓说不把这个秘密写出来，现在怎么给写出来了？后来塔塔里亚就要跟卡尔达诺打赌，又要去比赛。卡尔达诺派了一个叫法拉利（Lodovico Ferrari）的学生，跟塔塔里亚比赛。法拉利更高明，他不只是知道复数，还可以用根号负的数在里面做运算，所以他做的东西更精确，结果就赢了。而塔塔里亚不只把所有的钱都输光了，职务也丢了。所以，那时候做数学是很不容易的，前面丢了命，后面这工作都没了。
到今天，我们有了正数、负数，这个解其实不复杂，稍微懂一点中学数学，方程就能求解了。但在那个年代不容易。
不可解方程
现在我讲不可解方程。关于四次方程按照前面方法也能求解，但五次方程的话，这些科学家就不知道怎么办了。这个问题一直到1802年，由阿贝尔（Niels Henrik Abel）解决。
阿贝尔是个传奇式人物。举一个最简单的例子，大家知道科学里面有诺贝尔奖，数学里有菲尔兹奖，大家通常把菲尔兹奖跟诺贝尔奖做一个比较，这是错的。在1899年的时候，大数学家索菲斯·李（Sophus Lie）就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖，来代替诺贝尔奖。由于瑞典和挪威当时分裂了，这个事一直就耽搁了，耽搁了差不多100年。阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。
阿贝尔是一个才气极高的数学家，但一辈子是在饥寒交迫中过来的，他只活了26岁，是一个非常不容易的人。他早年做数学，发表很多文章，但是不知道什么原因，找很多工作都被拒绝了。他第一次证明五次方程不可解的时候，用了6页纸写下来。他把讲稿寄给高斯，高斯也没看。他在这个在杂志上发表了，但很多人不认可。当时发表文章跟现在还不一样。当时发文章你要交钱，现在发表文章，你把文章往杂志一投，给审一下稿，就发了。在当时，你如果发表文章100页，你要交100页的钱，5页就5页的钱。他的文章只有6页纸，因为他没钱，所以这文章写得就不清楚。你不要笑话，前苏联也是这个样子，前苏联很多数学家写的文章很短，所以我们现在认为苏联数学家写得很精炼，法国数学家很啰嗦。其实不是，因为苏联数学家没钱，他只能写得那么短。阿贝尔为了证明五次方程不可解，引入了一个我们今天认为很重要的概念，叫群论，所以阿贝尔被认为是群论的创始人之一。
阿贝尔几次到哥廷根、到巴黎去跟大数学家切磋，多以失败告终，因为他写东西都写得不清楚，太精练了，到了巴黎也没有什么收获。阿贝尔所有的荣誉都是在死后得到的。最悲惨的是，他死之后两个星期，他在哥廷根的位置才批下来，寄到家里面，但他已经过世了。这是一个很悲惨的例子。
提到五次方程不可解，还得提到另外一个数学家，叫做伽罗瓦（Évariste Galois）。伽罗瓦是一个法国数学家，你看看他的岁数，大概就活了20岁。这位数学家小时候就有很高的数学天赋，他当时想考法国的高等工科学院，相当于今天的清华大学。高等工科学院当时是法国数学最好的大学，相当于清华大学在上世纪20年代，解放前的清华大学数学系应该是中国最好的。但他考了两次没考上，只考了法国高等师范学校，相当于中国现在的北京大学。今天北京大学数学当然很厉害，今天法国高师很厉害，但是如果说是解放初期的北京大学，数学确实不怎么样。伽罗瓦在法国高师的时候就展现出很强烈、很高的数学天赋，但是他常常卷入政治斗争。他属于共和派，为了共和派上街游行，然后坐牢。他在牢房里面碰到一个姑娘，他喜欢那个姑娘，出来之后就为了那个姑娘决斗。他知道对手比他强太多了，也知道他必死无疑，所以他在临死前5天把所有东西写下来，然后寄给大数学家柯西和高斯。这两个数学家不认为他的东西怎么样，一放放了几十年。几十年之后伽罗瓦的东西才被发表。他所有这些东西都是对的，而且他也独立地发表了群论。他比阿贝尔的高明之处就在于，阿贝尔说一般的五次方程不可解，伽罗瓦说谁给我五次方程，我就能推出来它是可解还是不可解，这是了不起的，伽罗瓦二十多岁就去世了，经常有人说：如果他今天还继续活着，我们的数学该会是什么样？没办法知道。数学家都是疯子，为了爱情，为了政治，把命都丢掉了。他丢了命确实跟数学没关系的，他要是好好做数学应该没有问题！
我今天在这里要打一个成语，过一会儿到我会把谜底解出来——“方程无解”，打一成语，你如果知道，（先）别说。
等幂和问题
我要讲的第3部分稍微现代化一点，叫做等幂和问题。但这是一个很古老的问题，就是说我给个整数，什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和？这是一个比较简单的，也是很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方，65等于4的平方与7的平方之和。
这跟前面有什么关系？如果前面所有讲的东西都是一元多次方程，一个方程只有一个元，那么这些东西求解不求解的问题相对要简单一些。现在是一个方程里面有两个，甚至多个变量在里面。有两个变量的方程比有一个变量要难得多，为什么呢？我不允许你用根号，如果在整数里求解，那只能是整数；在有理数里求解，只能是有理数。这个问题就比原来的问题要复杂得多的多。这个问题也有很早的历史。在最早的时候，欧几里得的《几何原本》里面就有这样的问题。《几何原本》被认为是近现代纯数学最系统的一本书。但专门研究这些整数性的方程，其实是在另外一本书。公元200年，一个叫做丢番图的人（Diophantine）写了一本书，这本书跟中国的《九章算术》差不多，是平行的。《九章算术》列了大概400多个问题，它是列了200多个问题，里面提到：哪些数可以写成两个数的平方？丢番图通过一些验算之后猜测，一个素数能够写成两个数的平方，当且仅当这个数除以4余1。比如说5，那是1+2的平方；11就不能写成两个数的平方，除完4等于3；17没问题，4平方加1。丢番图的猜想差不多花了1000多年之后才被费马（Pierre de Fermat）证明。费马是个传奇式的人物，首先他不是个数学家，他是个法官。做法官是很孤独的，法官不能跟老百姓平常地聊天，因为担心判决的公正性。所以他平时没事喜欢做一些数学，做完数学之后，就写信给他朋友，但是他从不把证明写给朋友。于是就变成一个非常有趣的事情，他证明了很多定理，但没有一个定理有证明。其中最出名的一个例子，他把丢番图《算数》那本书里面碰到一个问题，也就是刚才的平方问题，变成了立方问题。然后他在上面写，我已经找到一个绝妙的证明，但这个书的边太小了，我写不下来。他就把那书放那儿了。这个证明300多年之后才被安德鲁·怀斯（Andrew Wiles）在1994年证明。几十年之后，出现了另外一个大数学家叫欧拉（Leonhard Euler）。欧拉年轻的时候名气也不大，他就把费马的每条定理单独证一遍，但到了最后有一条证不出来，那就是“费马最后定理”（即费马大定理）。我今天讲的是费马第一个出乎意料的定理，他证明了一个没有平方因子的有理数是两个有理数的和。你把这个数分解之后，每个数因子要么是2，要么4N+1。2很好办，就1+1，但他把4N+1证出来了。他在某一年的圣诞节给他朋友写信，说我想我已经证出来一个有理数是两个平方数的和！他说我这个证明很绝妙，怎么证的？他说如果一个数能够写成两个数的平方和，假如它不是模4余1，我还可以找一个更小的数，也是满足同样的条件。一直往下推到最后，推不下去了，肯定就做出来了。然后他给这个办法起名叫“无限下降法”。无限下降法是数学领域一个分支，在数论里面是一个最经典的方法。那么同样他从来没有给细节，这个细节的证明几百年之后才有人把它证出来。费马还有一些有趣的事情很有意思。比如我们大家知道微积分通常认为是牛顿发明的，如果你把牛顿的《数学原理》打开，牛顿是这样说的，他所有的工作都是由于费马工作的影响。因为费马当年在没有微积分的情况下，就已经知道怎么去求切线，在微积分里面叫费马定理。求极大值的时候用费马，求面积一样，费马甚至知道什么叫变分法，这也是一个很了不起的东西。未来科学
我最后讲讲future science，就是未来科学。我前面二次的问题解决了，三次四次那么解决？剩下的问题，我们没有多少东西。关于三次方程和四次方程之后，我们知道的东西非常少。
一个整数能够写成两个三次实数的平方和，概率只有1/2。这个很邪门，有时候你能够逮得着，有时候逮不着，只有1/2的机会。这猜想之后牵扯到另外一个大猜想，叫做BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），是2000年美国克雷数学研究所提出的，叫做世纪问题。你解决这个问题就能拿100万美金，也不需要评估。你证了之后，只要文章拿出来，就给你钱。关于四次以上的等幂和问题，我们知道得更少。1983年，法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了，随便给个N，这个方程很可能有解，最多只有有限多的解，不会有无穷多的解。但你要知道，后面这是有理数，如果整数的还好办一些，有理数的话没那么容易。由于这个结果，1986年他拿了菲尔兹奖，另外一个就是怀尔斯（Andrew Wiles）。这个是费马当年在那个书里面小页上，没有时间写的那个东西。花了350年之后，怀尔斯证明了这个定理，用了现在所有的数学知识，绝对是空白边做不出来的。但我们今天认为费马没有证明，他只是胡说，但也有一些人认为Andrew Wiles可能有别的更妙的证明。那么另外一个猜想叫做ABC猜想，如果ABC猜想被证实的话，这个方程不只是知道怎么解决，应该有个程序求解。就是说我把这方程输进去之后，计算机程序就能把解输出来了。这是未来数学当中的两大数学问题，一个是BS猜想，一个是ABC猜想。我想今天下午张益唐要讲另外一个猜想，叫黎曼猜想，在数学里面差不多有这三大猜想。今天在座的大家都来听听笑话，不是要真的做数学，你要真的做数学没问题，但是你想想看，做数学代价很大，要么是用生命的代价，要么饥寒交迫。但今天设备还是好了很多，我们国家对数学的重视程度，今天跟以往没法比。那么数学家和非数学上认为，数学家是什么样的？达尔文（Charles Robert Darwin）说，数学家就是在黑盒子里找一个黑帽子的瞎子。数学家在他本来就是个瞎子，在黑屋子里面还找个帽子，那帽子其实也不存在，但是不妨碍他找这个帽子。回过头来说，数学就无解之解。根号负1不存在，没关系，我想象它存在。就像毕达哥拉斯是第一个哲学家，把我们的宇宙分成两部分，一个叫感性宇宙，一个叫理性宇宙。感性宇宙是你可以测得到的，比如物理学、化学；理性宇宙是，你想象到的东西也是宇宙。所以数学是你可以想象的。还有个数学家说，数学家就是把咖啡转换成定理的机器。所以你现在发现，要建一个数学系，最重要的事情是什么？咖啡机。数学家没事就去喝咖啡，喝完咖啡到办公室再做数学，做不出来之后再喝咖啡，后来再做数学。如果没咖啡他做不出东西，这是一个很重要的事情。
最后，我要揭开前面谜语的谜底，方程无解——求之不得。为什么呢？对我们数学家来说，就是要解没解的方程，这样的话我们才能够延续自己的研究，才能够有自己的生命。
