杨振宁最新趣文:跨越80年求解一个数学游戏-资讯-知识分子

杨振宁最新趣文:跨越80年求解一个数学游戏

2020/01/06
导读
移棋相间法:风靡两代西南联大人的数学游戏

编者按:移棋相间游戏最早被记载于我国清代康熙年间成书的笔记小说《坚瓠集》中,在日本和英国亦曾以“鸳鸯游戏”和“泰特问题”之名风行。它要求玩家将n个相邻的白色棋子和n个相邻的黑色棋子,通过移动相邻两子的方式得到“黑白相间”的结果。

《坚瓠集》中记录,清代顺治年间胡励之曾发现当3≤n≤10时,经过n次移动均可得到“黑白相间”现象。数百年后的1920年代,是年尚在读中学的数理统计学开创者之一、我国数学家许宝騄和他的好友、“新红学”开拓者俞平伯在阅读此书后,曾将上述规律推至二十棋子。许宝騄在一年后总结出“合四为一”的新规律,据称一分钟即可讲完,使人豁然贯通。然而,由于后来科学研究任务繁重,许先生最终也未能如愿将这一公式整理出来。

而对这一游戏规律的探寻,也就一直传承到了十余年后许宝騄任教的西南联大学生身上。在本文中,世界著名物理学家、诺贝尔物理学家杨振宁先生完整记录下了他对该问题“Modulo 4”解法的论证。

(图源:pixabay.com)


撰文 | 杨振宁

1940年前后,在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间,始终未能完全解决。20多年后在美国我重新研究它,终于解决了所有n=3,4,5……的游戏,可是没有把答案写下来,只记得解决的一个关键方法是modulo 4。

最近看到一本关于许宝騄[1]的书,《道德文章垂范人间》,其中316页上有一篇俞润民的文章[2],说许曾研究“移棋相间法”,曾发现“合四为一之新律”。我猜,此新律恐怕就是后来我发现的modulo 4方法。

这几天重新研究此游戏,再度得到全解,在下面描述。

游戏初始:p(3)

六个棋子摆成一行,如 (1) ,黑子 (b) 在左,白子 (v) 在右。

然后移动最左二子至最右,成 (2) ,再移动二子成 (3) ,再移动二子成  (4)。


从 (1) 到 (4) ,三步移动,达到黑白相间是游戏 p(3) 的三步解。请注意,每次移动,必须是相邻二子,平行移动。

p(4)


p(5)


p(6)


p(7)


p(8)


从 (31) 到 (39) 八步平行移动可以分成三段 :

第一段  (31) 到 (33) 两步。请注意中间八子 bbbbvvvv 完全不动。 

第二段  (33) 到 (37) 四步。请注意左右两端的 bvvb 和 vvbb 八子完全不动。 

第三段  (37) 到 (39) 两步。其中第一步先不动 (37) 的最左四子bvvb, 只把最右四子的中间二子 vb 移到左面,成 (38) 。第二步则把 (38)  中最左的 bv 二子移到右面成 (39) 。

极重要的比较 :

比较第二段 (33) 到 (37) 这四步,与 p(4) 的 (5) 到 (9) 这四步,前者去掉最左四子与最右四子就与后者完全雷同!!!也是说 p(4) 是p(8) 的中心。p(8) 在中心以外还有第一段的两步和第三段的两步,以及左右八子,合起来形成一框,我们称它为外框

Modulo 4 
p(8) 的中心是 p(4) 。四周是一个外框。我们把此关系写为

p(4)  →  p(8)

这个关系显然可以推广 :

至此我们已显示所有 n>3 时 p(n) 的解法。


注解

[1] 数理统计学起源于二十世纪前半叶。创建此学科的五、六位学者中有许宝騄。

[2] 俞润民是许宝騄的外甥,是俞平伯的儿子。俞文还说此游戏“始于清顺治六七年”。


2019年11月完稿于清华园


本文经授权转载自“数学文化”,原标题为“许宝騄和‘移棋相间法’”。
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