“知道声波的存在是一回事，但更重要的是去聆听贝多芬的第九交响曲。这是第一次，我们听到宇宙的乐音。”［1］

撰文：Rafael A. Porto（ICTP、南美洲基础研究学院（South American Institute for Fundamental Research））

翻译：高苹（哈佛大学物理系博士生）

黑洞——引力坍缩的终结之所——存在于一个从普朗克长度［2］（Planck size）到太阳质量数十亿倍的超大黑洞的广阔范围里；这些超大黑洞被认为包含于类星体中，其视界半径可以超过一个天文单位，即太阳到地球的距离。它们是自然界中最令人敬畏的物体之一，尽管爱因斯坦自己从不相信它们可以在物理的过程中形成。而孤立的、经典的、不旋转的、电中性的黑洞可以被爱因斯坦广义相对论的“史瓦西-德罗斯特”（Schwarzschild-Droste）解描述。这个解，在一百年前广义相对论刚刚提出后不久，就被发现了。而对于旋转的黑洞，则是在爱因斯坦逝世以后，才被发现可以用克尔（Kerr）解来描述。为了包含“旋转”这个看似简单的条件，人们花费了几乎50年的时间——这恰恰说明了广义相对论的非线性方程是多么的困难！

图1. 这是人类知识体系目前涉及的所有尺度。横轴单位为米。上方从左到右依次为宇宙，天文单位（太阳到地球的平均距离），人类，原子，普朗克尺度；下方为黑洞，其可以存在于普朗克尺度到若干天文单位之间的广阔范围中。

黑洞的性质非常丰富，包括物理的奇异点（还有依赖于坐标选取的非物理的奇异点），连光线都无法逃脱的区域（视界，horizon），无法从外面提取能量的区域（能层，ergoshperes），甚至还有由非零的普朗克常数所导致的（也就是量子效应导致的——译者注）温度。譬如在一个双星系统中，除了极为特殊的情况，至今还没有人知道广义相对论的解析解。这是由于其中包含了太多不同的尺度（黑洞大小、距离、速度和辐射的特征波长等），以及爱因斯坦的引力理论的非线性特征。尽管如此，我们还可以在所谓的旋进阶段（inspiral phase）中做微扰展开（perturbative expansion），以得到近似解。在这种情况下，黑洞之间的距离要够大（达到自身大小的100倍左右），尽管它们依然以远远高于通常的速度——约为光速的几分之一——围绕对方旋转。这是一个典型双星系统的完整生命中大部分的状态。这个微扰展开最终由黑洞相对运动的速度与光速的比例来刻画，通常被称为“后牛顿”近似（“Post-Newtonian” approximation）。

引力中的两体问题，在长达几个世纪里持续地引起极大关注。从伽利略（Galileo）和牛顿（Newton）（以及胡克（Hooke）和哈雷（Halley）等等）伊始，我们知道行星以平方反比律作椭圆运动。而它在广义相对论中的完整表达式，和牛顿的引力理论是截然不同的。后者是一个线性理论，其中传播速度没有上限，因此该理论中并不存在引力波；而且对于普通质量的星体，包括潮汐作用在内，都可以借此被精确解出。

图2. 旋进阶段的两个黑洞。黑洞强大引力导致时空弯曲，因而周围的星系产生了图像上的变形。这是引力透镜的效果。

然而，在爱因斯坦的理论中，我们不仅有非线性的相互作用，还会碰到引力波的耗散（与吸收）。类似于电磁学中的偶极辐射（dipole radiation），著名的四极辐射公式（quadrupole formula）给出了一个两体系统辐射总功率的量化表达式。而通过观测所谓的“Hulse-Taylor双脉冲星”（简称为PSR 1913+16）的周期性衰减，这个辐射功率已经在非常高的精度下得到了验证。正如广义相对论的精确预测，引力波就像时空的涟漪，从这个系统中带走能量。这一发现也获得了诺贝尔奖的肯定。PSR 1913+16不会很快消失，因此它提供了爱因斯坦理论的一次弱场验证（a weak field test）。无论如何，它已经证实了自然界中引力波的发射，并且平息了一段可以追溯到爱因斯坦本人的、关于引力波是否存在的争论。［3］

爱因斯坦在晚年曾经和一位年轻的合作者共同声称并已证明：他的完整理论中不存在引力波的精确解。这篇文章在被投稿到《物理学评论》（Physical Review）后，和今天学术界的规范流程一样：首先被送给另一位物理学家做同行评议。对于这篇文章，著名宇宙学家Howard P. Robertson在作者不知情的情况下，指出了一个错误并给出了相关修改建议。这引起了爱因斯坦的回应：“我们发文章给你们发表，并没有授权你们在它印刷之前给别的专家看。我们没有任何理由回应你们这些匿名专家作出的绝对错误的评论。”这篇文章的最终版本则发表在另一本杂志上，其中并没有声称引力波不存在（也没有引述之前的争议）。

引力是如此的微弱，以至于在LIGO这样的地基引力波天文台出现之前，根本就不可能直接观测到时空的涟漪。2015年9月14日，在广义相对论诞生大概100年后，LIGO科研合作组终于探测到了一个短暂的引力波信号。这个信号是在大约10亿年前，由一个总质量约为65个太阳质量的黑洞双星系统在对撞之前产生的。［4］此次灾难性事件，在一秒钟内放射出大约三个太阳质量的总能量（想想物理学中最著名的公式：E＝mc²），而在LIGO的探测器上却仅仅引起了一个非常小的震荡。这是首次直接的探测，也是一场短暂却猛烈的交响曲。由于LIGO尚未达到其设计精度（却得益于黑洞系统的质量大得惊人），它只观测到了黑洞融合前的十分之一秒，也就是在LIGO的频带中看到了几个周期的信号。［5］在极短的融合阶段中，由于引力变得很强，微扰方法不再有效。因此，一旦黑洞临近碰撞，我们就需要数值模拟。

图3. 引力波天文学有助于我们理解时空的动力学。上方为一种6维“卡拉比-丘”流形的某个2维截面。超弦理论认为四维时空中的每一个点实际上是一个6维“卡拉比-丘”流形。下方为LIGO探测到的引力波信号。

经过约十年前的一次突破，数值相对论已经发展成熟为一个非常成功的研究领域。尽管如此，它仍有技术上的挑战，因为只有相当少数的轨道周期（相较于LIGO频带上期望的天体物理总事件数）可以在一个可操作的时间（从几周到几个月）内用超级计算机模拟。事实上，模拟巨大的质量比和快速的旋转要更加困难得多。然而，在许多人们感兴趣的情况中，包括各种质量比以及很大的转速，地基探测器和未来的空间观测站（例如eLISA）都需要使用双星系统在上千周期内的动力学的精确描述。因此，解析方法是至关重要的——它不仅能加深对动力学的理解，而且能模拟所有观测到的周期。将宇宙的物质以前所未有的精度对应起来，这使我们在多信使天文学（multi-messenger astronomy）的新时代中获益良多。譬如，黑洞转速的分布可以限制非常轻的粒子的存在。另外，尽管黑洞融合阶段自然地成为试验强引力相互作用的实验室，而旋进阶段的可解析的控制（不同于黑洞融合阶段的错综复杂）也会携带大量信息。尤其是双星合并期间细微的潮汐形变（tidal deformations），会在引力波的波形上留下痕迹，这可以帮助我们解释中子星和黑洞的内部结构，最终阐明时空的动力学（dynamics of spacetime）。

尽管微扰计算是理论物理的基本工作，不过广义相对论中两体问题的“后牛顿”展开（Post-Newtonian expansion）依然相当复杂。即使忽略旋转和潮汐效应（它们是高阶项），场方程的非线性和涉及的各种迥异的尺度，使得解出星体运动的尝试成为精心杰作。然而，过去主要是通过传统的迭代方法来解爱因斯坦方程。这个计算有诸多挑战，首先是繁琐的代数变换，例如在中间的步骤中出现的无穷大（infinities）。发散的存在［6］，需要正规化的程序（消除无穷大的一种计算技巧——译者注），而在传统方法中，正规化方案的任意性（arbitrary regulators）也带来多义性。

图4. 引力波源的逐层放大示意图。图上方为引力波源，波浪线示意发出的引力波；图中间为各自带自旋的黑洞两体系统；图下方为单个黑洞周围的弯曲时空示意图。

尽管许多这样的问题终将解决（有一些仍被持续讨论），一个更加系统化的框架显然也是众所期望的。同时，它也能涵盖过去曾被忽略的旋转自由度。受此激励，最近发展出了一套解决引力中两体问题的新方法——这个方法绕过了传统方法中的一些复杂性，提供了计算和物理结果之间更加直接的联系。这个新方法源自对量子色动力学（QCD，描述夸克和胶子间强相互作用的理论）的束缚态的研究，为引力的研究提供了强大的应用的工具。这些新技术总称为“有效场论”（EFT）方法，它深植于对称性原则（symmetry argument），使得短程物理的痕迹可以被长程物理来参数化。

引力和强相互作用（strong interaction）在很多方面都很相像。重夸克通过交换胶子形成束缚态，作非相对论性的运动；这和“后牛顿”框架中的两体问题深刻地相似。［7］主要的区别是：两体系统是经典体系，而QCD中充满量子效应。尽管如此，在经典体系中，仍有许多在计算上相同的障碍。因此，在粒子物理的计算中最重要的技术，例如费曼图（Feynmann diagrams）、正规化（regularization）、重整化（renormalization）、重整化群流（renormalization group flows），以及更多技术上的发展，都毫无意外地能够在EFT方法中，自然地应用到引力动力学的经典计算中。用这个新的框架计算，已经系统化地重复出了大部分非旋转的双星系统的已知结果。（例如，牛顿力学的第一个修正——水星近日点的异常进动——花费了爱因斯坦和合作者好几页纸的计算，而在EFT方法中，只需要两个简单的费曼图就可以轻松地推导。）同时，EFT方法还可以有效地描述旋转的致密物体（compact objects），在拓宽两体动力学和辐射功率的最前沿的知识中，扮演了重要的作用。至于旋转物体的计算，是极富挑战性的，也是相对较晚的事。例如，两体问题中旋转的头阶效应，是在大约40年前被计算出来的，有趣的是，这个结果和氢原子中自旋相互作用（泡利矩阵，Pauli matrices）很相似。自从EFT方法发展以来，非线性的旋转效应已经被融合到相当高阶，而且关于两体问题中的轨道运动和辐射功率的最先进模型已经达到非常高的精度（高达 (v/c)⁸）。原则上说，这对于LIGO的设计灵敏度而言已经足够，但是对于未来的观测站来说，仍然需要更高的精度。因此，关于引力中的两体问题的解析方法，其未来的发展是一个欣欣向荣、充满生机的领域。

图5. 这是EFT中，计算两体散射振幅时，几个四圈图的费曼图的例子。圈数越多的图，代表越高阶的修正。

LIGO实验的结果，已经跻身于本世纪最伟大的成就之列。科学家们屡次将这个成就和伽利略把望远镜对向天空的事迹相提并论：它带来了一双聆听宇宙的耳朵。在这次探测的里程碑达成后，物理学界将很快转向对引力波源的性质的研究，并投入到天体物理和宇宙学的基础问题的方向中。在方兴未艾的多信使天文学中，结合数值与解析去研解两体问题非常重要。引力波科学的世纪，正在探究时空的基本结构中展开。进入“精确引力”（precision gravity）的新时代，许多新发现势必随之而来。

注释：

[1] https://www.youtube.com/watch?v=TWqhUANNFXw

[2] 普朗克长度为 m。G_{N 、}h和c这里分别是牛顿引力常数、普朗克常数和光速。

[3] 爱因斯坦写过两篇广义相对论中类似平面波解的文章。不仅他的第一篇文章是错误的，第二篇文章也差了一个2的因子。

[4] LIGO（The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory），全名激光干涉引力波天文台，能够测量干涉仪臂长的细微改变，其精度相当于以一根头发丝的误差测量从太阳系到最近的恒星“半人马座阿尔法星”的距离！

[5] 辐射功率在峰值的时候比观测到的宇宙中所有发光的物体加起来还要大。做个比较，太阳地球双星系统的引力波辐射功率大概相当于一个200瓦的灯泡（万幸的是，我们接收到了远远大于此的电磁辐射）。

[6] 奇异性来源于将致密天体（例如黑洞）处理成拥有一系列“多极矩”的点状物体的近似以及引力相互作用的长程非线性。

[7] 由于强相互作用的结构，束缚态一般不会辐射纯胶子。相反，由于夸克带电，它们辐射出光子。然而引力中的辐射问题要远比在电磁学中的复杂。尽管如此，EFT技术同样可以外推至辐射的情况。

注：英文原稿中并无图片说明，中文版图说为译者所加。

拓展阅读：

1. A. Zee,“Einstein Gravity in a Nutshell”, Princeton Univ. Pr. (2013).

2. R. A. Porto,“The effective field theorist's approach to gravitational dynamics”, Phys.Rept. 633, 1 (2016). https://arxiv.org/pdf/1601.04914

3. R. A. Porto,“The Tune of Love and the Nature(ness) of Spacetime”, Fortschritte der Physik64, 10 (2016). https://arxiv.org/pdf/1606.08895

延伸阅读：

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