伟大的数学和伟大的艺术精神实质是相通的，伟大的数学家和伟大的艺术家通过不同的途径领悟到自然的奥妙玄机，用不同的方式向芸芸众生传达语言难以描绘的优美深邃。这些超越时代的先驱者往往无法被普罗大众所理解，他们的人生充满苦难和挫折。但是依随时代的进步，他们光辉的思想逐渐被社会所认可并欣赏，终归成为人类文明史上的瑰宝。
北京大兴国际机场航拍（©李召麒）
撰文 | 顾险峰
2019年夏天，老顾再度在清华大学丘成桐数学科学中心开课，讲解《计算共形几何》。学生们来自世界各地，既有青葱少年，莘莘学子，也有学识渊博的大学教授。既有工程领域的骨干精英，也有功成名就的金融家，企业家。年轻人才气纵横，锋芒毕露；年长者含蓄内敛，目光深远。很多学员在自己的领域深耕多年，深刻地理解了所在领域的根本问题，并且多年来一直力图解决，因此来学习共形几何，希望跨界的思维会带来实质性的突破。
图1. 六芒星的构型。
今年课程设计的重点是亚纯微分，黎曼-罗赫定理，阿贝尔-雅可比定理，泰西米勒理论，目的之一是为了奠定计算力学、机械设计中的四边形网格生成的理论基础。这些概念和理论非常抽象，学生们经常询问如何能够更直观地理解。老顾觉得，从传统数学教育角度而言，理想的直观理解过程是这样的：一名学生已经具有一定的素养，其知识体系相对完备而丰富，证明一个新定理所需要的概念和引理在其知识体系之内，因此他能够理解并接受这一定理的证明；但是这一定理所陈述的事实超越了他的想象，定理所蕴含的深意超越了他的思想深度；从理智上，他承认这一定理的证明无懈可击，但是从感情上，他一时无法接受。在这种情形下，他能够真正扩大知识结构，内化这一定理，并升华到更为抽象普适的层次。
但是，这一理想情形是非常珍贵而稀少的，一般情形很少有学生能够具有完整的概念链条。例如，为了学习阿贝尔-雅可比定理，我们需要全纯函数、共形结构、黎曼面、亚纯微分、除子、黎曼-罗赫定理等一系列艰深的概念和理论。因此，很多时候，我们借助每个人天然的灵性和对自然几何的感受力来强行推进，直至顿悟。这其实和数学历史的真正发展是一脉相承的。当年，阿贝尔洞察到了阿贝尔定理，并给出了初等证明。但是，无人真正理解其内在深意。此后，人类数学家又花费了一百多年才发展出成熟的数学语言，能够清晰描述阿贝尔定理，才真正到达阿贝尔理论的中心腹地。在短暂的暑期课程中，大多数的时候，我们只能从抽象到抽象，学生们都似乎处在朦胧混沌的状态之中，自行编织知识网络，填补认知漏洞，深化或者颠覆以往的理解。这需要耗费大量的脑力和耐心，非常艰辛。每次上课之前，老顾都会在黑板上画下犹如巫术图腾般的图案：六芒星（如图1所示），因为这一诡异的构型代表了黎曼面上的亚纯微分，深刻联结着黎曼-罗赫定理，阿贝尔-雅可比定理和泰西米勒理论。老顾希望六芒星在年轻人的心头留下微弱的火种，或许数十年之后能够在世界的某个角落，燃起熊熊烈火！
谢师宴
每年老顾回清华讲学，都要宴请当年的班主任黄连生老师，以感谢栽培之恩。三十年前，黄老师力排众议，在清华计算机系极为有限的资源之中为我们理论班十几个年轻学生争取来非常难得的学习机会，并且同时从数学和计算机两个方面培养我们。黄老师的高瞻远瞩，为老顾的学术生涯指明了方向和奠定了基础，从而将数学和计算机科学相结合，和丘成桐先生创立了计算共形几何。
在谢师宴上，黄老师和理论班同学亲切地叙旧，探讨了国际时局。最近，老顾和合作者团队证明了曲面四边形网格和亚纯四次微分的等价性，用阿贝尔-雅可比定理给出了奇异点构型的充要条件。黄老师和老顾详细讨论了证明细节，并且一针见血地指出了关键之处，这令老顾既惊讶又钦佩。黄老师非常关切地询问了今年暑期课程的情况，他意味深长地对老顾说道：“你暑期来清华开课差不多有十年了吧？这十年来，计算共形几何在中国普及得如何呢？相信你依然会坚持下去，只问耕耘、不求收获。”
黄老师对于中国的教育现状理解得非常透彻，对于学术界的优点和问题洞若观火。他向老顾指出了普及计算共形几何不可一蹴而就，要做长久努力，任重而道远。同时，黄老师和老顾都深信，共形几何作为自然界的一部分，其重要性迟早会在各个领域呈现；从陌生到熟悉，共形几何终归被会人们所接受并欣赏。
但是，令我们都出乎意料的是：犹如一夜间，六芒星在北京凌空炸裂，亚纯微分在首都大地恣肆流淌！这一切都是因为一座伟大的建筑横空出世——北京大兴国际机场！
图2. 北京大兴国际机场航拍。
大兴机场
耗资800亿，号称“新世界七大奇迹”之首的北京大兴机场，是世界上最大的单体航站楼，超过了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布尔第三国际机场，每年运送旅客多达1亿人次，飞机起降80万架次。
从空中鸟瞰永定河北岸的大兴机场，宛如一只巨大的蝴蝶，神秘而魔幻。当我们抵近航站楼的中心，我们看到了一个规模宏大的：六芒星！
图3. 北京大兴国际机场航拍近景。
航站楼的屋顶被两族曲线剖分，和谐优雅，流畅灵动。站在航站楼内部，仰望穹庐，六芒星的构型更加突兀明显。老顾的学生们齐声尖叫：调和叶状结构，全纯二次微分！
图4. 北京大兴国际机场内部仰望穹顶结构。
自由弯曲的曲面，诡异妖媚的曲线，稍微对建筑艺术有所了解的人一眼就可以看出：这觉绝对是建筑女魔头扎哈·哈迪德的典型风格！不错，大兴国际机场正是扎哈的遗世绝唱，天鹅之歌！
图5. 建筑界的女魔头，曲线之王 扎哈·哈迪德（©Mary McCartney）
女魔头
扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）天纵奇才，旧世界的颠覆者，新世界的征服者，第一个女性普利兹克奖获奖者！她彻底解构了传统的建筑美学标准，大胆运用几何结构来构造空间，其参数化（parametricism)设计使得建筑挣脱了重力的羁绊，在空中自由翱翔，其标志性的曲线更给她带来了无数的赞美和争议。
传统建制派的建筑师对她恨之入骨，而又寝食难安，他们从建筑的实用性、施工难度、和环境的融入程度方面责难扎哈的作品，肆无忌惮地嘲笑扎哈狂妄自大，刚愎自用，沽名钓誉，空洞浅薄。他们无视扎哈作品的恢弘壮丽、石破天惊，喋喋不休于屋顶漏水、表皮脱落、厕位笨拙。他们批判扎哈精神错乱，对历史无知，对自己智商盲目崇拜。这使得扎哈职业生涯的前二十年饱受摧残，所有的设计都只能停留在图纸之上，没有哪怕一件得以施工。
图6. 望京Soho
所有的设计都停留于图纸，在现实世界中四面楚歌。但是扎哈不屈不挠，以虽万人、吾往矣的英雄气概与世界抗争。没有经过建筑设计训练的广大人民群众被扎哈的作品深深震撼，扎哈的设计突破了他们的想象极限，使得他们看到原来建筑可以在大地上纠缠盘绕，奔腾流淌，破碎融合，蜷曲弥散。扎哈的才华最终挣脱了世俗的羁绊，得到了世人的爱戴和敬仰。但是，作为一名斗士，长期的精神摧残和超负荷的设计，使得扎哈在事业的巅峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨华丽的遗作：大兴机场，令人扼腕痛惜！
图7. 澳门新濠天地酒店
数学分析扎哈的突破
那么，从数学家的角度如何来评价扎哈的设计作品呢？扎哈的本质突破在哪里？其作品是精神失常的产物吗？还是归结为几何的必然？
老顾对建筑设计方面一无所知，但却是最懂扎哈作品之人，能够将扎哈的建筑风格提升到（数学）理论高度。
几何的突破 在传统建筑行业，几乎所有的作品都是横梁、立柱、平墙、方窗，换言之几乎所有的建筑表面都是平直的，高斯曲率几乎处处为零。这意味着传统建筑是基于欧几里得几何。只有极少数天才的设计突破了零曲率几何，例如高迪和扎哈。扎哈是绝无仅有的肆无忌惮地使用黎曼几何进行建筑设计的第一人。人类历史上，在长达数千年的期间，人类都认为平直的欧几里得几何是天然的、唯一真实的几何，直到爱因斯坦创建了广义相对论，人类才意识到原来自然时空是弯曲的，黎曼几何才是世界的真实图景。从这个角度而言，扎哈使人类明白了真实的建筑世界应该是弯曲的黎曼几何。
图8. 大兴机场内部的纽结结构。
拓扑的突破 在传统建筑中，几乎所有的楼宇都是简单的拓扑球面，即大楼的整体表面没有环柄。扎哈以睥睨天下的气魄，将高亏格曲面大胆应用。图7的澳门新濠天地酒店大楼表面就是一张亏格为3的黎曼面，即3个环柄。三维欧几里得空间中的曲线可以彼此缠绕，从而形成各种纽结。图8显示了大兴机场内部栈桥被设计成纽结结构。这些复杂的拓扑构型，在传统建筑中极为罕见，这是扎哈在拓扑方面的突破。
叶状结构 身为曲线之王，曲面的叶状结构（foliation）成为扎哈的终身标志。Foliation本意是落叶层叠之意，在拓扑中代表将高维流形规则地分解为低维流形，因此本质上是具有美学价值的解构。
图9. 小猫曲面的叶状结构
图9显示了小猫曲面的叶状结构，除了几个奇异点之外，曲面整体被分解为封闭圆圈（叶子），局部上看，这些圆圈彼此平行。对比图6，我们看到，望京Soho的大楼表面被分解成彼此平行的圆圈，这些圆圈构成了曲面的一个叶状结构。
图10. 高亏格曲面的叶状结构
图10显示了亏格为2的曲面上，三个彼此不同的叶状结构。在奇异点处，叶子成为三岔路口。我们将每片叶子在曲面上自由滑动，使得这些叶子的分布尽量流畅光滑，这种形变不会改变叶状结构的整体拓扑性质，但是会增加叶状结构的美学价值。两个叶状结构如果能够彼此形变成为对方，则我们说它们彼此等价。由共形几何理论，每个叶状结构都可以如此变换成一个最为流畅柔顺的叶状结构，即所谓的调和叶状结构，每个叶状结构等价类中，调和叶状结构存在并且唯一。
图11. 共轭调和叶状结构
每个调和叶状结构都有另外的一个调和叶状结构处处与之垂直，被称为共轭调和叶状结构。如图11所示，红色和蓝色的两个叶状结构彼此共轭。仔细观察图3和图4，用建筑术语讲，我们看到扎哈为大兴机场设计了两族彼此垂直的流畅曲线；用几何术语讲，扎哈对于流畅柔顺流线的极致追求，本质上导致了大兴机场设计中的共轭调和叶状结构。由此可见，美学的语言和几何语言在这个场景下彼此等价。
图12. 叶状结构中度为6的奇异点
图13. 叶状结构中度为8的奇异点
图14. 度为5的奇异点
扎哈建筑理论的深入思考
至此，我们得出结论，大兴机场的整体设计是共轭调和叶状结构，设计中心是叶状结构的奇异点。那么，我们自然会产生一系列的疑问，这些疑问的解答只能依赖于深刻的共形几何理论。
第一个问题：为什么一定是六芒星？而不是五芒，或者七芒星？
图12-14 详尽地解答了这个问题：仔细观察图12和图13，沿着格线，我们的确能够得到两族彼此共轭的调和叶状结构。但是，图14中，沿着格线，我们得到的不止两族圆圈，并且每族圆圈都无法覆盖整个曲面。换言之，图14中的任意一族局部彼此平行的圆圈都无法构成曲面的叶状结构。理论上，曲面上的叶状结构的奇异点通常是如图12所示那样，局部是一颗六芒星。图13中度为8的奇异点不稳定，经过微小扰动，可以分解成两颗六芒星。因此，大兴机场的六芒星构型本质上代表了调和叶状结构的稳定奇异点（唯一）结构，这是几何原理所限制的必然。
扎哈并没有精神失常，她的极端理性和审美导致了唯一的设计方案。扎哈天才地悟到了调和叶状结构的唯一性，和奇异点结构的唯一性。
第二个问题：在一般曲面上，扎哈追求的共轭调和叶状结构存在吗？有多少个？
这个问题非常深刻。共轭调和叶状结构满足特定的椭圆型偏微分方程，解的存在性和解空间的大小由曲面的拓扑所决定，叶子的形状和分布由曲面的黎曼度量和叶状结构的整体拓扑性质所决定。
一对共轭的调和叶状结构等价于曲面的一个全纯二次微分。如果部分指定奇异点的位置，那么所有满足条件的调和叶状结构构成一个线性空间，空间的维数由黎曼-罗赫定理所决定。
第三个问题：在一般曲面上，共轭调和叶状结构的奇异点如何确定？
调和叶状结构，或者等价的，全纯二次微分具有很强的刚性。刚性这里意味着如果所有的奇异点位置确定下来，那么相应的全纯二次微分和叶状结构也就确定下来了。对于设计而言，要么整体大改，要么不改，局部微调是不可能的。并且所有的奇异点之间存在很强的约束，随意给定几个点，基本上不存在以这些点为奇异点的全纯二次微分。那么如何确定给定的点可否作为奇异点来求得调和叶状结构？答案在于，这些点应该满足阿贝尔定理。扎哈建筑设计的计算
扎哈的大兴机场整体设计是共轭调和叶状结构，设计中心是叶状结构的奇异点。据说这些柔顺的曲线都是扎哈手绘出来的。大兴机场还没有对外开放，老顾还没有实地考察过内部设计。理论上，调和叶状结构都是可以自动计算出来的，但是现存于世的方法不超过两种。老顾团队在2017年给出了一种基于图值调和映射的算法，详细解释请参阅参考资料[1]和[2]。
图15. 调和叶状结构的算法
图15解释了我们算法的核心思路。如图所示，给定一个靠亏格曲面，我们计算一些封闭圈（红色曲线）满足条件：每条圈没有自相交；圈与圈彼此不相交；圈与圈彼此不同伦，即我们无法在曲面上将一条圈渐变成另外一条圈。我们尽量选取尽可能多的这种圈，直至无法在找到新圈为止。这些圈将曲面分解成一些碎片，每个碎片都是亏格为零的曲面带有三条边界，被称为是一条裤子。如此得到了曲面的一个裤子分解。
我们构造相应的裤子分解图（graph），每条裤子变成图中的一个结点（node），每条红圈变成图中的一条边（edge）。我们再为图中每条边赋予一个长度，然后计算从曲面到裤子分解图的映射，使得每条裤子映到相应结点；每条圆圈的邻域映到相应的边。调节映射，使得曲面映射的弹性形变能量最小，如此得到了曲面的图值调和映射（graph-valued harmonic map）。裤子分解图（graph）边上每一个点的原像是曲面上的一个圆圈，这些圆圈构成了曲面的一个调和叶状结构，每条裤子上都有一对奇异点。具体计算细节，请看参考资料[1-3]。
这一算法尚未融入到商业软件，例如autocad或者maya。如果建筑师朋友们有兴趣在设计中融入扎哈的风格，可以联系老顾团队。思想的地标
这里老顾从共形几何角度，对扎哈设计理念进行透彻分析，将大兴机场整体设计思想归结为共轭调和叶状结构（全纯二次微分）及奇异点。虽然扎哈具有数学本科的背景，她不太可能深刻理解黎曼-罗赫，阿贝尔定理和叶状结构的共形几何理论。但令人无比惊讶的是，扎哈仅仅凭借敏锐的审美，就从本质上深刻洞察到这些抽象的几何理论。这也正是扎哈无与伦比的伟大之处：对人世英勇无畏，对自然敬畏纯真。
共形几何理论表明扎哈设计的结构具有极强的刚性，可以说是牵一发而动全身，这意味着扎哈貌似惊世骇俗、大胆狂放的设计实际上是基于严格精密的理性。那些质疑扎哈精神失常的凡夫俗子，实际上是无法理解扎哈深邃的思想。与其说扎哈颠覆了旧世界，不如说她使人类解放了思想，使得人为的僵硬设计更加贴近自然。
明年，老顾会将清华计算共形几何的课堂搬到大兴机场，用扎哈的艺术作品来使学生感受到几何的壮美，从而尽早开悟。
调和叶状结构，扎哈的千古绝唱，必将成为首都北京的地标，成为首都人民审美的地标，成为首都人民科学思想的地标！
图15. 大兴机场的调和叶状结构和奇异点，六芒星。
参考资料
[1] N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory. CMAME 316 (2017), 758–781.
[2] N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II. CMAME 321 (2017), 406–426.
[3] N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral Mesh Generation II: Meromorphic Quadrtic Differentials and Abel-Jacobi Condition, arXiv:1907.0021.
本文经授权转载自“老顾谈几何”
