斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan），1887年12月22日生于印度马德拉斯邦埃罗德，1920年4月26日卒于印度马德拉斯邦贡伯戈讷姆。图为拉马努金（居中者）、哈代（右一）和其他学者在评议会大楼外的合影。图源：维基百科

导读：

     印度数学家拉马努金是一位天才式的传奇数学家。他没有经过数学的科班训练，自学成才，但在许多重要数学问题上，都有原创性的贡献，例如拉马努金素数、拉马努金θ函数和模拟θ函数等。

     用大数学家哈代的话说，拉马努金在数学方面有一项天赋是任何人都无法否认的：强大而不可撼动的原创力。

     “如果在少年时期被发现，接受些许训练，他应该会成为更伟大的数学家，他所发现的新成果会更多，无疑也会更重要。但与此同时，他也会偏离现在的拉马努金，变得更像一位欧洲教授，这可能得不偿失。”哈代如是说。

伊恩·斯图尔特｜撰文

张憬｜翻译

1913年1月，奥斯曼帝国和巴尔干同盟正大打出手，欧洲被拖入冲突的泥潭，越陷越深。身为剑桥大学的数学教授，哈代鄙视战争，他一生都在研究没有军事用途的纯数学，这让他感到非常自豪。

外面雪花纷飞，剑桥大学三一学院的学生们步履匆匆地穿过泥泞的校园。但在哈代的房间里，令人愉悦的炉火驱散了寒意。桌子上放着早上收到的邮件，等待他拆开阅读。哈代看了看信封。有一封信引起了他的注意，因为上面的邮票很不寻常，它来自印度，盖的是马德拉斯（今金奈）的邮戳，日期为1913年1月16日。哈代撕开了经过长途传递已然有些破损的黄色信封，抽出一沓稿子。里面还有一封手写信，笔迹很陌生，开头如下：

亲爱的先生：

请允许我向您介绍我自己，我是马德拉斯港务办公室会计部的一名职员，年薪只有20英镑。我现在大约23岁。我没有受过大学教育……离开学校以后，我一直利用能掌控的业余时间研究数学……我正在为自己开辟一条新的道路。

天哪，这大概又是个自以为能化圆为方的呆子。哈代刚想把信扔进废纸篓，却在拿起那些稿纸时，被写在上面的数学符号吸引了注意。多么奇特的公式！有几个他认得，其他的则不同寻常。

如果这封信出自一个呆子之手，那他至少是个有趣的呆子。哈代继续往下读：

最近，我读了您写的一本小书，名为《无穷大的阶》（Orders of Infinity），我发现第36页有这样一句：迄今为止，人们还没有针对小于任意给定数的质数的数量找到准确的公式。我找到了一个非常接近准确的式子，误差可以忽略不计。

好家伙，他重新发现了质数定理！

请您过目所附文件。我是个穷人，如果您认为其中包含任何有价值的内容，那么我愿意发表自己的定理……我没有什么经验，所以非常珍视您给我的任何建议。如有打扰，还请见谅。

对您深怀敬意的

S. 拉马努金

哈代心想，他不是那种典型的呆子。典型的呆子会更加自以为是和咄咄逼人。哈代把信放在一边，拿起文件开始阅读。半小时后，他坐回到椅子上，脸上露出罕见的表情。真是怪了。哈代觉得这些东西很有意思。但是，给本科生讲分析课的时间到了，于是他穿上那件满是粉笔灰的长袍，走出房间，关上了身后的门。

当天晚餐时分，他在“高桌”上向学院里所有愿意倾听的学者讲述了这封奇怪的信，其中包括他的同事兼亲密合作者约翰·李特尔伍德（John Littlewood）。为了让朋友安心，李特尔伍德愿意在这件事上浪费一小时的时间，而且他们刚好可以随意使用棋牌室。两人走进去时，哈代举起了那沓薄纸。他向大家宣布：“这人要么是个呆子，要么是个天才。”

一小时后，哈代和李特尔伍德得出了结论。

他是天才。

拉马努金。图源：维基百科

*            *            *

希望大家原谅我对这个故事的戏剧化处理。哈代的心理活动是我编写的，但现存的文献清楚地表明，他的头脑中肯定有过类似的想法，而故事的总体展开也尊重了历史记录。

写信的人正是拉马努金，他于1887年出生在一个婆罗门家庭。父亲K. 斯里尼瓦瑟·延加（K. Srinivasa Iyengar）是一家纱丽（编者注：印度等国妇女的传统服装）店的职员，母亲科玛拉塔玛尔（Komalatammal）是一名执行官的女儿。他出生在印度南部马德拉斯邦（今泰米尔纳德邦）埃罗德（Erode）的祖母家中，在父亲工作的贡伯戈讷姆（Kumbakonam）长大。但是，除了和丈夫过日子，年轻的妻子常常还要陪伴父母，因此他的母亲时常带他去约400千米外的马德拉斯附近和外祖父一起生活。家里很穷，房子很小，但拉马努金的童年基本上是快乐的，只是他有些固执。出生后的头三年，他几乎一言不发，母亲一度担心他是个哑巴。5岁时，他不喜欢老师，也不想上学，而是更乐意自己思考，并问出一些烦人的问题，比如“云朵之间有多远？”。

拉马努金很早便显现出数学天赋。11岁时，他就超越了在他家住宿的两个大学生。他学会了如何解三次方程，还能背出τ和e的小数点后很多位。一年后，他借来一本高级教材，似乎没怎么费力便完全掌握了里面的知识。13岁时，他如饥似渴地阅读悉尼·洛尼（Sidney Loney）的《三角学》（Trigonometry），其中包括正弦和余弦的无穷级数展开，而且他已经酝酿起了自己的新成果。他的数学能力为他在学校赢得了许多奖项。1904年，校长直言他应该得到比最高分更高的分数。

15岁那年，拉马努金遇到了一件改变他一生的大事，但在当时看来一切都很平常。他从公立学院图书馆借了一本乔治·卡尔（George Carr）的《纯数学基本结论概要》（Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics）。我们至少可以说，这本书是相当独特的。上千页的篇幅，列出了大约五千条定理，而且全都没有证明。卡尔是根据他辅导学生时提出的问题编写这本书的。拉马努金也给自己出了一道题：为书中所有的定理建立公式。没有任何人帮助他，也没有别的书可以查看。实际上，他为自己设定了一个包含约五千个独立课题的研究项目。由于穷得买不起纸，他在一块石板上进行计算，并将结果记在几个笔记本上，这些笔记本他保存了一辈子。

1908年，拉马努金的母亲科玛拉塔玛尔决定为时年20岁的儿子找个妻子。她看中了住处距离贡伯戈讷姆约100千米的亲戚家年幼的女儿贾娜基（Janaki）。在一个充斥着包办婚姻和童养媳的社会里，年龄差距不构成大的障碍。拉马努金似乎是一个非常普通的年轻人，一个没有工作、没有金钱、没有前途的懒汉和失败者。但贾娜基家有五个女儿，他们已经失去了大部分财产，只要能为贾娜基找到一个愿意善待她的丈夫，她的父母就满足了。科玛拉塔玛尔对这门亲事是满意的，一般来说，这意味着事情就这么定了。但这一次，拉马努金的父亲发起了脾气。他认为自家儿子配得上更好的。要不是之前的未婚妻家中有人不幸去世，让正事泡了汤，拉马努金此前两年就该结上婚了。主要问题在于科玛拉塔玛尔没有先征求丈夫的意见，这一点让他心生不满。无论如何，男方父亲拒绝参加婚礼，冷落了女方一家。

婚礼临近，新郎和他的家人都不见人影。新娘的父亲兰加斯瓦米（Rangaswamy）向所有人宣布，如果拉马努金不能尽快到场，他就马上把贾娜基嫁给别人。最终，从贡伯戈讷姆开来的火车晚点了几小时才到，拉马努金和他的母亲（父亲没来）坐着牛车赶到村子时已经过了午夜。科玛拉塔玛尔很快就化解了兰加斯瓦米的威胁，她公开指出，一个有五个女儿的贫穷父亲拒绝诚心定下的婚约是要承担风险的。

按照习俗庆祝五六天后，贾娜基也明白自己嫁给了拉马努金。她要等到进入青春期才能真正和他在一起，但两人的生活都和以前不同了。拉马努金开始找工作。他试过去当数学辅导老师，但没有找到合适的雇主。也许是因为之前的一次手术，拉马努金病了一场，他坐着马车来到了朋友R. 拉达克里希纳·耶尔（R. Radhakrishna Iyer）家，这位朋友带他去看了医生，然后把他送上了返回贡伯戈讷姆的火车。临走前，拉马努金嘱咐道：“如果我死了，请把这些交给辛加拉韦卢·马达利尔（Singaravelu Mudaliar）教授，或者英国的爱德华·罗斯（Edward Ross）教授。”说着，他把两本厚厚的笔记塞给了一脸惊诧的朋友，里面全都是他的数学研究。

这些不仅是拉马努金的遗产，也是他的工作证明：证明他并不是真的懒惰且失败。他开始带着自己的数学研究拜访有影响力的人。罗伯特·卡尼杰尔（Robert Kanigel）在《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity）中写道：“婚后一年半，拉马努金成了一个挨家挨户跑业务的推销员。他的产品就是他自己。”这并不容易。在当时的印度，走关系是找工作的最佳途径，但拉马努金没有这种渠道。他只能依靠那些笔记……不过他还有一个优势，就是友善、好相处。每个人都喜欢他，他很活泼，会讲笑话。

最终，他的坚持和淳朴的亲和力得到了回报。1912 年，一位名叫P. V. 塞舒·艾亚尔（P. V. Seshu Aiyar）的数学教授请他去见R. 拉马钱德拉·拉奥（R. Ramachandra Rao），后者是一名公务员，当时在内洛尔（Nellore）担任地区长官。拉奥回忆了这次会面：

我准许拉马努金进入我的房间面见我。他身材矮小，不太灵活，体格结实，没有刮胡子，谈不上整洁，有一个特别显眼的特征是眼睛很亮……我立刻看出他有些不寻常，但我的知识不足以判断他是言之有物还是在胡说八道……他向我展示了一些简单的成果。那些结论超越了当时的书本，我毫不怀疑他是个了不起的人。然后，他一步一步地向我介绍椭圆积分和超几何级数，最后，他尚未对外公布的发散级数理论征服了我。

拉奥帮拉马努金在马德拉斯港务办公室找了一份月薪30卢比的工作，这份工作让他有足够的业余时间继续搞研究。另一个好处是，他可以把用过的包装纸带走，在上面写他的数学。

就在那时，在同一批人的鼓舞下，拉马努金给哈代写了一封言辞谦逊的信。哈代立即回复并表示鼓励。拉马努金请哈代写一封“同情信”，好帮他获得奖学金。但哈代比他想得更远、更大胆。他已经写信给伦敦负责印度学生事务的专员，寻求让拉马努金来剑桥大学受教育的途径。后来人们才知道，拉马努金并不想离开印度。剑桥大学的人际网络派上了用场。三一学院的另一位数学家吉尔伯特·沃克（Gilbert Walker）当时正在马德拉斯访问，他给马德拉斯大学写了一封信，这所学校为拉马努金提供了特别奖学金。拉马努金终于可以将全部时间投入数学研究中了。

哈代继续尝试说服拉马努金来英国。拉马努金开始动摇，这件事的主要障碍变成了他的母亲。令全家人大吃一惊的是，某天早上，她忽然宣布纳玛基丽（Namagiri）女神在梦中显灵，命令她放儿子完成他的人生使命。于是，拉马努金获得了一笔生活费和旅费，启程前往英国，并于1914年4月来到三一学院。他一定觉得自己格格不入，但他坚持了下来，发表了许多研究论文，包括与哈代共同完成的一些有影响力的工作。

拉马努金是婆罗门，不能伤害动物。虽然英国朋友感觉他对宗教规矩的恪守并不是出于信仰，而是出于对社会习俗的看重，但在战时的英国，他还是尽可能地虔诚自律。身为素食主义者，他不相信学院的厨师能做到不采用任何肉类原料，因此自学了烹饪，当然是印度式的。据朋友们说，他成了一名出色的厨师。

1916年前后，他的朋友，受印度政府资助来到剑桥大学的学者吉亚内什·钱德拉·查特吉（ Gyanesh Chandra Chatterji）即将结婚，于是拉马努金邀请他和未来的新娘共进晚餐。按照约定，查特吉、准新娘和一位女伴来到拉马努金的住处，拉马努金为他们端上了汤。大家喝完以后，他又提供了一些。三个人都喝了第二碗，他便建议再来第三碗。查特吉接受了，但女士们拒绝了。

不久之后，拉马努金就没了人影。

客人们一直在等他回来。一小时后，查特吉下楼去找门房。是的，他看见拉马努金先生了，他叫了一辆出租车，然后上车走人了。查特吉回到房间，三人等到晚上10点，按照学院的规定，他们必须离开了。主人还是没有出现。接下来的四天，拉马努金都不见踪影……到底发生了什么事？查特吉忧心忡忡。

第五天，一封电报从牛津发来：查特吉能给拉马努金汇5英镑吗？（这在那个年代不是一个小数目，相当于今天的几百英镑。）钱汇过去后，查特吉继续等待，拉马努金终于出现了。当被问及发生了什么事时，他解释道：“女士们不接受我提供的食物，我觉得受到了伤害和侮辱。”

这是内心不安的一种外化表现。拉马努金的神经已经紧绷到了极限。他从未真正适应在英国的生活。他的健康状况本来就不太好，后来越发糟糕，最后住进了医院。哈代去医院探望了他，这次探望引发了另一个故事，这个故事里也出现了出租车。这件事也许已经被讲述过很多遍了，但仍然值得再说一遍。

哈代曾写道，每一个正整数都是拉马努金的亲密朋友，他去医院探望他的故事刚好说明了这一点。“我乘坐的出租车车号为1729，我说这个数在我看来相当沉闷，但愿这不是一个不好的预兆。他回答说：‘不是的，这是一个非常有趣的数，它是可以用两种不同方式表示为两个立方数之和的最小数。’”

具体来说就是：

1729=1^3+12^3=9^3+10^3

在拥有这种特征的正整数中，1729是最小的一个。

这个故事很好地传达了哈代眼中拉马努金的形象，但我忍不住怀疑这里有个小圈套，哈代可能故意给他生病的朋友递了个话头，想以这种方式来激励他。毫无疑问，大多数人不清楚1729这个数还有这种特点，但拉马努金一定能迅速看出门道。事实上，许多数学家，尤其是对数论感兴趣的数学家（包括哈代）都知道这个。数学家看到1729几乎不可能不想到1728，也就是12的三次方。同时，内行也很难不注意到1000是10的三次方，而729是9的三次方。

尽管如此，哈代讲述的故事还是引出了数论中一个略显次要但依然有趣的概念：出租车数。第n个出租车数是可以用n种不同方式表示为两个正立方数之和的最小数。接下来的两个出租车数是：

87 539 319

6 963 472 309 248

出租车数有无数个，但人们只确认了前六个。

1917年，拉马努金回到自己的房间，沉迷于数学，此外不闻窗外事。他没日没夜地工作，然后筋疲力尽地倒下，一睡就是20小时。这对他的健康毫无益处，而战争又导致他赖以生存的水果和蔬菜陷入短缺。到了春天，他患上了某种很可能无法治愈的未知疾病。他住进了一家为三一学院师生服务的小型私立医院。在随后的两年里，他至少看过八个医生，至少住过五家医院和疗养院。医生们先后怀疑他有胃溃疡、癌症和败血症，但他们认为拉马努金最有可能患有肺结核，并且主要是按照这个结论为他治疗的。

拉马努金最终获得了学术荣誉，可惜为时已晚。他成为第一位当选英国皇家学会会士的印度人，还在三一学院被推选为研究员。他重新振作起来，再次投入数学研究，但他的健康状况依然很糟，英国并不宜人的天气可能也起了不好的作用。1919年4月，他回到了印度。漫长的旅途本就对体弱之人不利，抵达马德拉斯后，拉马努金的病情再次恶化。1920年，他在马德拉斯去世，留下一位遗孀，没有孩子。

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谈到拉马努金的数学研究，我们能找到四个主要的源头：已发表的论文、他的三本装订好的笔记、他提交给马德拉斯大学的季度报告，以及他还未发表的手稿。第四本“遗失”的笔记（一捆散页）在1976年被乔治·安德鲁斯（George Andrews）找回，但还有一些手稿仍然下落不明。布鲁斯·伯恩特（Bruce Berndt）编辑了五卷本的《拉马努金笔记》（Ramanujan’s Notebooks），其中包括他所有公式的证明。

拉马努金的背景不同寻常，没有受过正规训练，他的数学研究自然会有些怪怪的。他最擅长的是构造复杂精巧的公式，这是一个不太时髦的领域。除欧拉、雅可比等几位老牌大师之外，拉马努金是最出色的公式奇人。哈代写道：“一个出自拉马努金的公式总会包含比目之所见更丰富的东西。”他的大部分成果是关于无穷级数、积分和连分数的。下面是连分数的一个例子：

这个连分数出现在他所写的信的最后一页，关乎一个怪异但正确的公式。拉马努金把自己的一些公式应用到了数论中。他对解析数论特别感兴趣，这个领域要探寻获得某些近似值的简单途径，比如像高斯的质数定理那样（见第10章），很接近地找出小于给定上限的质数数量，另一个例子是找出给定数的因数的平均数。

受到哈代的影响，拉马努金在剑桥大学期间发表的作品撰写风格比较传统，有严谨的证明。他在笔记中记录的内容则截然不同。因为是自学成才，拉马努金对证明缺乏严格的概念。如果数值证据和形式论证共同指向一个看起来靠谱的结论，而且他的直觉告诉他答案是正确的，他就会觉得问题解决了。事实上，拉马努金的结论通常是正确的，但他的证明往往存在漏洞。有时任何可靠的专业人士都可以帮忙修补他的漏洞，有时他的证明则需要重建。拉马努金也得出过错误的结论，但这种情况很少。伯恩特认为，如果他“像一个训练有素的数学家那样思考，他就不会记录下许多他自认为已经证明了的公式”，而数学也会因此变得更加贫乏。

被拉马努金称为“主公式”（Master Formula）的成果就是一个很好的例子*。他的证明涉及级数展开、求和与积分的顺序互换，以及其他类似的技巧。由于他使用了无穷过程，每一步都充满危险。在19世纪的大部分时间里，最伟大的分析学家们都在研究什么时候使用这种过程是不会出问题的。拉马努金认为，使他的公式成立的条件并不多见。尽管如此，他从主公式中推导出的结果几乎都是正确的。

*根据拉马努金的主公式，如果：

是一个复值函数，那么：

其中，Γ(s)是欧拉的伽马函数。

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拉马努金有一些极为引人注目的研究成果关乎分拆（partition）理论，这是数论的一个分支。给定一个整数，问它有多少种分拆方式，或者说它能以多少种方式写成更小的整数之和。例如，5这个数有7种分拆方式：

5+0        4+1        3+2        3+1+1        2+2+1

2+1+1+1        1+1+1+1+1

因此，p(5)=7。随着n的增大，p(n)的值会迅速增长。例如，p(50)=204 226，而p(200)达到了惊人的3 972 999 029 388。p(n)没有简单的计算公式，不过，我们可以寻找近似公式，在一般情况下给出p(n)的数量级。这是解析数论中的一个问题，而且很有难度。1918年，哈代和拉马努金克服了技术上的困难，推出了一个近似公式。这是一个相当复杂的级数，涉及复24次单位根。他们随后发现，当n=200时，仅第一项就与精确值的前6位有效数字一致。再加7个项，他们得到了3 972 999 029 388.004，整数部分就是精确值。他们指出，这一结果“有力地表明，我们有可能获得这样一个p(n)公式，它不仅能显示p(n)的数量级和结构，而且可以针对任意n计算出精确值”，他们接着证明了这一点。这肯定是为数不多的通过寻找近似公式获得准确公式的例子之一。

拉马努金还在分拆中发现了一些非常有趣的规律。1919年，他证明了p(5k+4)总是能被5整除，p(7k+5)总是能被7整除。1920年，他提出了一些类似的结论，例如：p(11k+6)总是能被11整除，p(25k+24)能被25整除，p(49k+19)、p(49k+33)、p(49k+40)、p(49k+47)都能被49整除，p(121k+116)能被121整除。值得注意的是，25=5^2，49=7^2，121=11^2。拉马努金说，据他所知，这样的规律仅在除数的形式为5a7b11c的时候成立，但这是错误的。阿瑟·阿特金（Arthur Atkin）发现，p(17 303k+237)可以被13整除，而在2000年，肯·小野（Ken Ono）证明了针对所有质数模这个类别的同余都是存在的。一年后，他和斯科特·阿尔格伦（ Scott Ahlgren）又证明了所有不能被6整除的模也都有同类情况。

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拉马努金的一些结论至今仍未得到证明。有一个特别重要的问题大约在50年前获得了突破。在1916年的一篇论文中，他研究了一个函数τ(n)，定义为x^(n-1)在

[(1-x)(1-x^2)(1-x^3)]^24

展开中的系数，于是有τ(1)=1，τ(2)=-24，τ(3)=252……这个公式来源于19世纪关于椭圆函数深奥而优美的研究。拉马努金需要τ(n)来解决的问题与因数n的幂有关，他需要知道它有多大。他证明了其大小不大于n^7，但猜想这个结论可以改进为n^(11/2)。下面是两个猜想公式：

对互质的m和n，τ(mn)=τ(m)τ(n)

对所有质数p，τ[p^(n+1)]=τ(p)τ(p^n)-(p^11)τ[p^(n-1)]

这样一来，针对任意n求τ(n)就很方便了。路易斯·莫德尔（Louis Mordell）在1919年证明了这两个公式，但他始终未能攻克拉马努金关于τ(n)数量级的猜想。

1947年，安德烈·韦伊（André Weil）在了解高斯的旧成果时意识到，他可以将这些结论应用于诸多方程的整数解。经过一番洞察以及与拓扑学的奇妙类比，他提出了一系列十分精巧的结论，这些就是韦伊猜想。这些猜想在代数几何中占据了核心地位。1974年，皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）证明了它们，一年后，他和伊原康隆从中推导出了拉马努金的猜想。拉马努金的观点看似浑然天成，却需要如此大规模的核心突破才能得到定论，这表明了他的直觉有多么敏锐。

拉马努金还有一些更为神秘的创新，其中一个是“仿θ函数”（mock theta function），他在1920年写给哈代的最后一封信中描述过它。后来，人们在他遗失的笔记中找到了相关细节。雅可比引入θ函数是为了替代椭圆函数。它们是无穷级数，对变量加合适的常数时，会以非常简单的方式进行变换，而椭圆函数可以通过让θ函数彼此相除构造出来。拉马努金定义了一些类似的级数，并提出了大量涉及它们的公式。当时，他的这套想法看上去只是操作复杂级数的某种练习，与数学中的其他任何东西无关。今天，我们意识到事实并非如此。它们与数论中出现的模形式理论有着重要联系，也与椭圆函数有关。

拉马努金的θ函数在概念上与别的θ函数相似但不同，它的实用价值最近在弦理论中得到了证实，而弦理论是物理学家尝试统一相对论和量子力学的热门领域。

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拉马努金的工作方式非常特别，并不严谨，却能得到正确的结果，因此有人认为他的思维模式很特殊，或者说不同寻常。根据引述，他本人曾经说过，这些都是纳玛基丽女神在梦中告诉他的。不过，他这么讲可能只是为了避免引人尴尬的讨论。据他的遗孀说，拉马努金“从没有时间去寺庙，因为他一直沉迷于数学”。哈代写道，他相信“所有数学家的思维方式从根本上说都是一样的，拉马努金也不例外”，但他补充说：“他将概括力、对形式的感知，以及快速修订假设的能力结合在一起，常常令人大吃一惊。”

在拉马努金的时代，他不是最伟大的数学家，也不是最高产的数学家，但支撑他的声誉的并不只有特殊的背景和感人的“穷小子逆袭”故事。在世时，他的思想已然颇具影响力，而且随着时间的流逝，这种影响力还有所增长。伯恩特认为，拉马努金不仅没有因循守旧，而且走在了时代的前面。有时，证明拉马努金的某个非凡公式，比想明白他到底是如何找到这个公式的还要容易。拉马努金有不少最为深刻的思想直到现在才被人们所领悟。最后，我要用哈代的话为属于他的这一章收尾：

（拉马努金在数学方面）有一项天赋是任何人都无法否认的：强大而不可撼动的原创力。如果在少年时期被发现，接受些许训练，他应该会成为更伟大的数学家，他所发现的新成果会更多，无疑也会更重要。但与此同时，他也会偏离现在的拉马努金，变得更像一位欧洲教授，这可能得不偿失。

本文选自《数学巨人传：思考、创造的奇趣故事》第21章，作者伊恩·斯图尔特，原标题为《拉马努金：公式奇人》，赛先生获授权转载。